Les Anagyvres


Des pierres rebelles dont le sens de rotation change sans raison apparente. Une théorie complète du mouvement reste à faire.

 

Dans les années 1970, en faisant tourner négligemment des pierres de haches sur une table, des archéologues remarquent que celles-ci s'arrêtent de tourner, puis repartent en sens inverse. Depuis cette redécouverte des propriétés de ce qu'on nomme anagyre, objet déjà connu au siècle dernier, les scientifiques se sont évertués à expliquer ce mouvement qui semblait défier les lois de la mécanique. L'analyse qualitative du comportement des anagyres a été établie dès 1896, mais l'analyse quantitative est plus délicate : elle nécessite de prendre en compte le glissement et la dissipation par les frottements.

L'anagyre que nous examinerons est un ellipsoïde aplati, une sorte de ballon de rugby écrasé. Posons-le sur une table, et faisons le tourner. Lancé dans un sens, l'anagyre fait quelques tours, s'arrête rapidement en oscillant d'avant en arrière selon la plus grande longueur, puis repart en sens inverse. Lancé dans l'autre sens, il tourne longtemps avant d'osciller longitudinalement (oscillation de roulis), alors qu'il est proche de l'arrêt. Parfois, il repart également en sens inverse avant de s'arrêter complètement. Certains anagyres font même plusieurs inversions avant de s'immobiliser (voir la figure 1). Ainsi, les anagyres ont un sens de rotation privilégié.


1. Le mouvement d'un anagyre comporte plusieurs phases. Lancé dans le sens antihoraire (1), il se met à osciller rapidement autour de l'axe b (2), après quoi la rotation s'inverse et il tourne dans le sens horaire (3). Après plusieurs tours, cette rotation engendre des oscillations de roulis, autour de l'axe a (4), puis le cycle recommence. En pratique, le nombre d'inversions que l'on peut observer dépend des caractéristiques de l'anagyre et des frottements.

 

Comment la table peut-elle transmettre à cet objet, symétrique en apparence, un mouvement de rotation inverse, alors qu'il n'y a entre eux qu'un seul point de contact? Le comportement paradoxal de l'anagyre laisse croire qu'il viole les lois de la mécanique. C'est une illusion.

Première constatation expérimentale : les inversions dépendent des frottements. Avec un anagyre donné, selon la surface utilisée pour l'expérience, on observe plus ou moins bien les différentes inversions. Si l'inversion principale, consécutive à l'oscillation d'avant en arrière est toujours observée, l'inversion secondaire, consécutive à l'oscillation de roulis, l'est plus rarement.

Le secret de l'anagyre réside dans la distribution de sa masse interne. Dans l'anagyre, la répartition des masses diffère pour les deux axes de symétrie horizontaux de l'ellipsoïde. Pour notre anagyre, cette répartition s'obtient en évidant de manière dissymétrique des parties internes de l'objet (voir la figure 2). On trouve également des anagyres aux formes asymétriques  : la répartition asymétrique de la masse est alors immédiatement visible.


2. Des cavités percées de part et d'autre des axes de l'ellipsoïde engendrent une répartition asymétrique de la masse. Ainsi, l'axe d'inertie principal (l'axe autour duquel se répartit la masse) est décalé par rapport à l'axe de symétrie de l'ellipsoïde.

 

Nommons a et b les deux axes horizontaux de l'ellipsoïde. La fonction caractéristique de cette répartition est appelée le moment d'inertie. Lorsque l'anagyre oscille verticalement autour de l'axe b, par exemple, comme c'est le cas juste avant l'inversion principale, le moment d'inertie mis en jeu est relativement important, car les masses se trouvent assez loin de l'axe. En revanche, lorsque l'anagyre oscille autour de l'axe a, comme il le fait lors d'une inversion secondaire, le moment d'inertie qui intervient est inférieur, car la majeure partie de la masse se trouve proche de l'axe. Cette différence entre les deux moments d'inertie par rapport aux axes principaux détermine le fonctionnement de l'anagyre.

Changement de cap

De quelle façon ces caractéristiques déclenchent-elles une inversion du sens de rotation? On rend l'anagyre instable pour des petites perturbations de la rotation autour de l'axe vertical. Si l'anagyre était sphérique ou si la répartition des masses était symétrique par rapport aux axes horizontaux de l'ellipsoïde, une petite perturbation n'aurait que peu d'effets sur la rotation et n'entraînerait pas d'oscillations notables. En revanche, avec une répartition convenable des masses, de petites oscillations, résultant du mouvement de rotation initial de l'objet ou d'irrégularités de la surface de la table, engendrent des oscillations dont l'amplitude croît rapidement. La nature des instabilités qui jouent sur l'anagyre dépend du sens de rotation et de la répartition des masses.

Lançons l'anagyre dans un sens. En raison de la répartition des masses, toute perturbation qui engendre une oscillation autour de l'axe b sera rapidement amplifiée. Les forces de frottement qui agissent sur l'anagyre durant l'oscillation arrêtent la rotation et en déclenchent une autre en sens contraire. Lorsque ce changement de sens est amorcé, les forces de frottement tendent à empêcher l'oscillation. Ainsi, une rotation dans un sens initial permet aux oscillations autour de l'axe b de s'amplifier rapidement. Ensuite, les forces de frottement qui accompagnent ces oscillations inversent le sens de rotation.

Si la pierre est lancée initialement dans le sens inverse (ou si l'on retourne l'anagyre et qu'on le lance dans le même sens, ce qui revient au même), c'est une autre instabilité qui est favorisée  : celle qui accroît les oscillations autour de l'autre axe principal, l'axe a. Cette fois encore, en raison de la répartition des masses, l'amplitude de cette instabilité croît rapidement, et les forces de frottement qui agissent pendant ces oscillations arrêtent le mouvement giratoire et l'inversent. Si cette inversion est moins marquée que l'inversion précédente, c'est que le moment d'inertie associé à l'oscillation de roulis est inférieur.

Ainsi, l'énergie cinétique de rotation de départ diminue au profit de l'énergie potentielle d'oscillation, qui est ensuite convertie à nouveau en énergie cinétique de rotation. Théoriquement, si l'énergie n'était pas dissipée, on pourrait observer une infinité de rotations. En pratique, il existe des anagyres en forme de demi-oeuf qui effectuent plus d'une dizaine d'inversions avant de s'arrêter.

Une autre manière de comprendre l'inversion est de considérer les forces de frottement. Partons de l'oscillation principale d'avant en arrière qui fait suite à une rotation (voir la figure 3). Lorsque l'anagyre oscille de bas en haut, le point de contact entre l'anagyre et la table se déplace sur un segment. En chaque point du segment, la table exerce sur l'anagyre une force de frottement (une réaction) qui prévient le glissement. L'une des composantes de cette force tend à faire tourner l'anagyre autour de son axe vertical dans un sens donné : on dit que cette force engendre un moment par rapport au centre de gravité.


3. Lorsque l'on fait osciller l'anagyre de bas en haut (flèches violettes), le point de contact se déplace sur un segment (en orange). En raison de la répartition des masses, la table exerce sur l'anagyre, en chaque point du segment, une force de réaction qui s'oppose au glissement (FFROTTEMENT). L'une des composantes de cette force (FNORMALE) tend à faire tourner l'anagyre dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

 

Pour compliquer le tout, le point de contact se déplace. La force change en permanence et le moment exercé par cette force change également. Le moment résultant qui s'exerce sur l'objet durant une oscillation est la moyenne des moments qui s'exercent au cours de l'oscillation. Lorsque l'on calcule cette moyenne, on obtient un moment résultant. Ainsi, par impulsions successives, l'anagyre se met à tourner dans le sens dicté par ce moment. Pour le vérifier, il suffit d'appuyer sur un bout de l'anagyre et de relâcher rapidement, sans lui donner de rotation.

L'oscillation de roulis entraîne une rotation en sens inverse de celle engendrée par l'oscillation de bas en haut. Toutefois, le moment résultant est de moindre amplitude, ce qui explique pourquoi un sens de rotation est privilégié.

Le couplage entre la rotation et les modes d'oscillation varie avec le frottement. Un frottement trop important dissipe si vite la rotation de l'anagyre que celui-ci ne dispose pas d'assez d'énergie pour repartir en sens inverse. Un frottement trop faible limite la réaction, et le moment n'est pas suffisant pour inverser la rotation. Sur du verre, l'effet peut être moindre que sur du formica ou sur du marbre.

L'explication de cette énigme fait apparaître qu'il n'est pas nécessaire de disposer de deux points de contacts pour transmettre un mouvement de rotation à un mobile. Les sports de balles avec effet le montrent aussi (tennis, football). Pourtant, l'explication quantitative du comportement des anagyres, par exemple le calcul du nombre de tours avant l'inversion, nécessite la prise en compte de la dissipation par le frottement solide ainsi que le glissement, voire le frottement aérodynamique.

Si vous voulez construire vous-même votre anagyre, vous pouvez utiliser du bois ou du plâtre, ou même une demi-coquille d'oeuf. Deux ingrédients sont requis. Premièrement, la base tournante doit posséder deux rayons de courbure. Deuxièmement, la répartition des masses doit être décalée par rapport aux axes de symétrie  ; pour cela, on peut soit évider des parties, comme pour l'anagyre décrit dans l'article, soit ajouter des masses décalées par rapport à l'axe de symétrie principal. Pour la coquille d'oeuf, il suffit de coller des morceaux de chewing-gum de manière asymétrique. Une théorie complète reste à faire et nous publierons les analyses des lecteurs qui étudieront ce problème délicat.

Janick Simeray est l'inventeur du modèle d'anagyre à la forme symétrique.

 

POUR SE PROCURER UN ANAGYRE ELLIPSOÏDALE :

     

     

 

POUR EN SAVOIR PLUS :

     
  • A. Garcia et M. Hubbard, Spin reversal of the rattleback : theory and experiment, in Proc. R. Soc. Lond., vol. A 418, pp 165-197, 1988.

     

  • J. Walker, Expérience d'amateur, in Pour la Science, décembre 1979.

     

  • G.T. Walker, in Q. Journal of pure and appl. Math., vol. 28, pp. 175-184, 1896.

     

  • Herman Bondi, Proc. Royal Soc. Lond., vol.A405, PP.265-274.

 

 

 

Merci au site de Pour La Science

Nicolas Vicente (1999)

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